Билет 7. 1. Какие утверждения называются следствиями? Приведите примеры следствий о параллельных прямых. 2. Докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника. 3. Задача на тему «Угол. Градусная мера угла».

Билет 7.

1. Следствия — это утверждения, которые доказываются на основе ранее доказанных теорем или аксиом, часто как их непосредственное применение.
   Примеры следствий о параллельных прямых:
   1. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма односторонних углов равна 180°. (Это следствие из теоремы о равенстве накрест лежащих углов и свойстве смежных углов).
   2. Если секущая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. (Это следствие из теоремы о равенстве соответственных углов: если один угол прямой (90°), то и соответственный ему будет прямой).
2. Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника: Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.
   Доказательство:
   Пусть дан равнобедренный \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \) (то есть \( AB = BC \)). Проведём биссектрису \( BD \) угла \( \angle ABC \). Нужно доказать, что \( BD \) — медиана и высота.
   Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \).
   1. \( AB = CB \) (по условию, так как \( \triangle ABC \) равнобедренный).
   2. \( \angle ABD = \angle CBD \) (по определению биссектрисы).
   3. \( BD \) — общая сторона.
   Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle CBD \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
   Из равенства треугольников следует:
   а) \( AD = CD \), значит \( BD \) — медиана (по определению медианы).
   б) \( \angle ADB = \angle CDB \). Так как эти углы смежные и их сумма равна 180°, то \( \angle ADB = \angle CDB = 180^{\circ} / 2 = 90^{\circ} \). Значит, \( BD \) перпендикулярна \( AC \), и \( BD \) — высота (по определению высоты).
   Таким образом, биссектриса \( BD \) является и медианой, и высотой.
3. Задача на тему «Угол. Градусная мера угла» — решение этой задачи не приведено, так как она требует индивидуального подхода и конкретных числовых данных, не представленных в условии.