Билет 5. 1. Дайте определение медиане треугольника. Сколько медиан имеет треугольник? Построить медиану треугольника. 2. Докажите третий признак равенства треугольников. 3. Задача на тему «Смежные углы».

Билет 5.

1. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
   Каждый треугольник имеет три медианы, по одной из каждой вершины.
   Построение медианы треугольника:
   Пусть дан треугольник \( ABC \). Чтобы построить медиану из вершины \( A \) к стороне \( BC \):
   1. Найдите середину стороны \( BC \). Для этого можно использовать циркуль: проведите дуги из точек \( B \) и \( C \) одинаковым радиусом, затем соедините точки пересечения дуг прямой. Эта прямая будет перпендикулярна \( BC \) и разделит \( BC \) пополам. Точка пересечения этой прямой со стороной \( BC \) — середина \( BC \).
   2. Соедините вершину \( A \) с найденной серединой стороны \( BC \). Полученный отрезок и есть медиана \( AM \).
2. Третий признак равенства треугольников (по трём сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   Доказательство:
   Пусть даны два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), у которых \( AB = A_1B_1 \), \( BC = B_1C_1 \) и \( AC = A_1C_1 \).
   Наложим \( \triangle ABC \) на \( \triangle A_1B_1C_1 \) так, чтобы сторона \( AB \) совпала со стороной \( A_1B_1 \), а вершина \( C \) оказалась по другую сторону от \( A_1B_1 \), чем \( C_1 \).
   Соединим точку \( C \) с точкой \( C_1 \) отрезком.
   Рассмотрим \( \triangle ACC_1 \). Так как \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \), то \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) равнобедренные относительно точки \( C \) и \( C_1 \) (с равными боковыми сторонами).
   Более строгое доказательство:
   Наложим \( \triangle ABC \) на \( \triangle A_1B_1C_1 \) так, чтобы отрезок \( AB \) совпал с отрезком \( A_1B_1 \).
   Так как \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \), то точка \( C \) может лежать либо в точке \( C_1 \), либо в точке, симметричной \( C_1 \) относительно прямой \( A_1B_1 \).
   Если \( C \) совпадает с \( C_1 \), то треугольники равны.
   Если \( C \) не совпадает с \( C_1 \), то рассмотрим \( \triangle AC_1C \). \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \).
   Корректное доказательство:
   Пусть \( AB = A_1B_1 \), \( BC = B_1C_1 \), \( AC = A_1C_1 \).
   Наложим \( \triangle ABC \) на \( \triangle A_1B_1C_1 \) так, чтобы вершина \( A \) совпала с \( A_1 \), а сторона \( AB \) — со стороной \( A_1B_1 \).
   Тогда точка \( B \) совпадёт с \( B_1 \).
   Из равенства сторон \( AC = A_1C_1 \) следует, что точка \( C \) лежит на окружности с центром в \( A_1 \) радиусом \( AC \).
   Из равенства сторон \( BC = B_1C_1 \) следует, что точка \( C \) лежит на окружности с центром в \( B_1 \) радиусом \( BC \).
   Эти две окружности могут пересекаться в двух точках. Одна из них — точка \( C_1 \).
   Если \( C \) совпадёт с \( C_1 \), то треугольники равны.
   Если \( C \) — другая точка пересечения, то \( \triangle AC_1C \) и \( \triangle BC_1C \) будут равнобедренными.
   Более простое доказательство:
   Пусть \( AB=A_1B_1 \), \( BC=B_1C_1 \), \( AC=A_1C_1 \).
   Наложим \( \triangle ABC \) на \( \triangle A_1B_1C_1 \) так, чтобы вершина \( C \) совпала с \( C_1 \), а сторона \( AC \) легла на \( A_1C_1 \).
   Тогда точка \( A \) совпадёт с \( A_1 \).
   Так как \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \), то точка \( B \) совпадёт с \( B_1 \).
   Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).
3. Задача на тему «Смежные углы» — решение этой задачи не приведено, так как она требует индивидуального подхода и конкретных числовых данных, не представленных в условии.