Билет 8. 1. Дайте определение биссектрисе треугольника. Сколько биссектрис имеет треугольник? Построить биссектрису треугольника. 2. Докажите первый признак параллельности прямых (накрест лежащие углы). 3. Задача на тему «Сумма углов треугольника».

Билет 8.

1. Биссектриса треугольника — это отрезок, исходящий из вершины треугольника, делящий угол при этой вершине пополам и пересекающий противоположную сторону.
   Каждый треугольник имеет три биссектрисы, по одной из каждой вершины.
   Построение биссектрисы треугольника:
   Пусть дан \( \triangle ABC \). Чтобы построить биссектрису угла \( A \):
   1. Из вершины \( A \) проведите дугу окружности, которая пересекает стороны \( AB \) и \( AC \) в точках \( D \) и \( E \) соответственно.
   2. Из точек \( D \) и \( E \) проведите дуги окружностей равным радиусом так, чтобы они пересеклись во внутренней области угла \( A \). Обозначим точку пересечения дуг как \( P \).
   3. Проведите луч \( AP \). Этот луч будет биссектрисой угла \( A \). Отрезок \( AP \) (до пересечения со стороной \( BC \)) является биссектрисой треугольника.
2. Первый признак параллельности прямых (накрест лежащие углы): Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
   Доказательство:
   Пусть даны две прямые \( a \) и \( b \) и секущая \( c \). Пусть \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие углы, и \( \angle 1 = \angle 2 \). Нужно доказать, что \( a Ⅰ b \).
   Предположим, что \( a \) не параллельна \( b \). Тогда при пересечении секущей \( c \) образуются углы, для которых не выполняется условие параллельности.
   Доказательство от противного:
   Предположим, что прямые \( a \) и \( b \) не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке.
   Пусть \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие углы, \( \angle 1 = \angle 2 \).
   Пусть \( \angle 3 \) — угол, вертикальный с \( \angle 1 \). Тогда \( \angle 1 = \angle 3 \).
   Так как \( \angle 1 = \angle 2 \), то \( \angle 3 = \angle 2 \).
   Углы \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) являются соответственными. Если соответственные углы равны, то прямые \( a \) и \( b \) параллельны.
   Это противоречит нашему предположению, что \( a \) и \( b \) не параллельны. Следовательно, \( a Ⅰ b \).
3. Задача на тему «Сумма углов треугольника» — решение этой задачи не приведено, так как она требует индивидуального подхода и конкретных числовых данных, не представленных в условии.