Билет № 5. 1. Перпендикулярные прямые (определение). Перпендикуляр к прямой. 2. Сформулировать и доказать первый признак равенства треугольников.

Решение:

1. Перпендикулярные прямые и перпендикуляр к прямой:
   • Определение: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (90°).
   • Перпендикуляр к прямой — это отрезок, проведённый из точки, не лежащей на прямой, к этой прямой под прямым углом. Длина этого отрезка называется расстоянием от точки до прямой.
2. Первый признак равенства треугольников:
   • Формулировка: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
   • Доказательство:
     Пусть даны два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), у которых \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B_1C_1 \) и \( \angle C = \angle C_1 \).
     Мы хотим доказать, что \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \>.
     Переместим \( \triangle ABC \) так, чтобы вершина C совпала с вершиной \( C_1 \), а сторона AC легла на сторону \( A_1C_1 \).
     Так как \( AC = A_1C_1 \) и \( \angle C = \angle C_1 \), то точка A совпадёт с точкой \( A_1 \), а сторона CB совпадёт со стороной \( C_1B_1 \>.
     Так как \( BC = B_1C_1 \), то точка B совпадёт с точкой \( B_1 \>.
     Таким образом, все вершины \( \triangle ABC \) совпали с соответствующими вершинами \( \triangle A_1B_1C_1 \). Следовательно, \( \(\triangle\) ABC = \(\triangle\) A_1B_1C_1 \>.
     Что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом. Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.