Билет № 8. 1. Биссектриса. 2. Теорема о сумме углов треугольника.

Решение:

1. Биссектриса:
   • Определение: Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.
   • В треугольнике биссектриса угла — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла с точкой на противоположной стороне.
2. Теорема о сумме углов треугольника:
   • Формулировка: Сумма углов любого треугольника равна 180°.
   • Доказательство:
     Пусть дан \( \triangle ABC \>.
     Проведём через вершину B прямую MN, параллельную стороне AC.
     При этом \( \angle 1 = \angle BAC \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).
     Также \( \angle 2 = \angle BCA \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и AC и секущей BC).
     Угол \( \angle ABC \) — это прямой угол \( \angle ABC \>.
     Угол \( \angle NBA \) + \( \angle ABC \) + \( \angle CBM \) = 180° (как развёрнутый угол MN).
     Заменяем \( \angle NBA \) на \( \angle 1 \) и \( \angle CBM \) на \( \angle 2 \>.
     \( \angle 1 + \angle ABC + \angle 2 = 180^{\circ} \>.
     Так как \( \angle 1 = \angle BAC \) и \( \angle 2 = \angle BCA \), то \( \(\angle\) BAC + \(\angle\) ABC + \(\angle\) BCA = 180^{\(\circ\)} \>.
     Что и требовалось доказать.

Ответ: Биссектриса делит угол пополам. Сумма углов треугольника равна 180°.