Билет № 9. 1. Определение окружности, центра, радиуса, хорды и диаметра. 2. Неравенство треугольника (доказательство 1 случая)

Решение:

1. Окружность, центр, радиус, хорда, диаметр:
   • Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки — центра окружности.
   • Центр окружности — это точка, от которой все точки окружности равноудалены.
   • Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Также радиусом называется длина этого отрезка. Обозначается буквой \( R \).
   • Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности.
   • Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам ( \( D = 2R \>).
2. Неравенство треугольника:
   • Формулировка: В любом треугольнике длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон.
   • Доказательство (1 случай: две стороны равны):
     Пусть дан \( \triangle ABC \>.
     Докажем, что \( AC < AB + BC \>.
     Продолжим отрезок AC на длину отрезка AB. Поставим точку D так, чтобы \( AD = AB \>.
     Тогда \( CD = AC + AD = AC + AB \>.
     Рассмотрим \( \triangle BCD \>.
     Угол \( \angle CBD \) является внешним углом \( \triangle ABC \>.
     По теореме о внешнем угле треугольника, \( \angle CBD = \angle BAC + \angle BCA \>.
     В \( \triangle ABD \) имеем \( AB = AD \) (по построению), следовательно, \( \triangle ABD \) — равнобедренный.
     Углы при основании равны: \( \angle ABD = \angle ADB \>.
     В \( \triangle BCD \) имеем \( \angle CBD > \angle CDB \) (так как \( \angle CBD \) — внешний угол \( \triangle ABC \>).
     По теореме, обратно пропорциональной теореме о внешнем угле, если в \( \triangle BCD \) угол \( \angle CBD > \angle CDB \), то сторона, лежащая напротив большего угла, больше: \( CD > BC \>.
     Так как \( CD = AC + AB \), то \( AC + AB > BC \>.
     Теперь рассмотрим другую сторону, например, \( AB \).
     Если \( AB = BC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
     Тогда \( \angle BAC = \angle BCA \>.
     В \( \triangle BCD \) имеем \( CD > BC \>.
     В \( \triangle ABC \) имеем \( \angle ABC \) — внешний угол \( \triangle BCD \>.
     Следовательно, \( \angle ABC > \angle BDC \>.
     Так как \( \angle ADB = \angle ABD \), и \( \angle ABC \) - внешний для \( \triangle ABD \), то \( \angle ABC > \angle BAC \>.
     Значит, \( BC > AC \>.
     Поскольку \( AB = BC \), то \( AB > AC \>.
     Таким образом, \( AC < AB + BC \>, \( AB < AC + BC \>, \( BC < AC + AB \>.
     Что и требовалось доказать.

Ответ: Окружность — множество точек, равноудалённых от центра. Радиус — расстояние от центра до точки на окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр. Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.