Билет № 5 1. Свойство касательной и секущей, проведенной к окружности. 2. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания 3. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см, АО = 13 см.

Решение:

1. Свойство касательной и секущей: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть. (Это свойство здесь не используется напрямую, но важно для общего понимания).
2. Угол между касательной и радиусом: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это значит, что угол между ними равен 90°.
3. Анализ:
   

   У нас есть окружность с центром в точке O. AB — касательная к окружности, проведенная из точки A. AO — секущая, которая также проходит через центр O. Точка B — точка касания.

   
   

   Шаг 1: Согласно свойству угла между касательной и радиусом, радиус OB перпендикулярен касательной AB. Следовательно, угол ABO = 90°.

   
   

   Шаг 2: Треугольник ABO является прямоугольным треугольником, где гипотенуза — это AO, а катеты — AB и OB.

   
   

   Шаг 3: Нам даны длины AB = 12 см и AO = 13 см.

   
   

   Шаг 4: По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике: $$AB^2 + OB^2 = AO^2$$.

   
   

   Шаг 5: Подставим известные значения: $$12^2 + OB^2 = 13^2$$.

   
   

   Шаг 6: Вычислим квадраты: $$144 + OB^2 = 169$$.

   
   

   Шаг 7: Найдем $$OB^2$$: $$OB^2 = 169 - 144 = 25$$.

   
   

   Шаг 8: Извлечем квадратный корень: $$OB = \sqrt{25} = 5$$ см.

   
   

   Шаг 9: OB является радиусом окружности.

   
   

Ответ: 5