Билет № 6. 2) Сформулируйте признаки параллелограмма. (Докажите один из них по выбору)

Признаки параллелограмма:

1. Признак 1: Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2. Признак 2: Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
3. Признак 3: Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
4. Признак 4: Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство Признака 2: (Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм)

Дано: Четырёхугольник ABCD, в котором AB = CD и BC = AD.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведём диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
3. AB = CD (по условию).
4. BC = AD (по условию).
5. AC — общая сторона для обоих треугольников.
6. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).
7. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: $$\angle BAC = \angle DCA$$ и $$\angle BCA = \angle DAC$$.
8. Так как $$\angle BAC = \angle DCA$$, то прямые AB и CD параллельны (как накрест лежащие углы при секущей AC).
9. Так как $$\angle BCA = \angle DAC$$, то прямые BC и AD параллельны (как накрест лежащие углы при секущей AC).
10. Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны.
11. По определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.