Билет № 6. 4) Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 7,5, а АВ=2.

Краткая запись:

• Треугольник ABC.
• Окружность с центром O на стороне AC.
• Окружность проходит через C.
• Окружность касается AB в точке B.
• Диаметр окружности d = 7.5.
• AB = 2.
• Найти: AC.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Диаметр окружности равен 7.5, значит, радиус окружности $$r = \frac{7.5}{2} = 3.75$$.
2. Шаг 2: Центр окружности O лежит на стороне AC.
3. Шаг 3: Окружность проходит через C, значит, OC — это радиус окружности. $$OC = r = 3.75$$.
4. Шаг 4: Окружность касается прямой AB в точке B. Это означает, что радиус OB перпендикулярен касательной AB. Следовательно, $$\angle ABO = 90^{\circ}$$.
5. Шаг 5: OB также является радиусом окружности. $$OB = r = 3.75$$.
6. Шаг 6: Мы имеем прямоугольный треугольник ABO, где OB = 3.75 и AB = 2.
7. Шаг 7: По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AO: \( AO^2 = AB^2 + OB^2 \).
8. Шаг 8: \( AO^2 = 2^2 + (3.75)^2 = 4 + 14.0625 = 18.0625 \).
9. Шаг 9: \( AO = \sqrt{18.0625} = 4.25 \).
10. Шаг 10: Точка O лежит на стороне AC. Поэтому AC = AO + OC (если O лежит между A и C) или AC = |AO - OC| (если A лежит между O и C, или C между A и O).
11. Шаг 11: Так как окружность проходит через C, то O - центр. AC - прямая, на которой лежит центр.
12. Шаг 12: Рассмотрим, что AC = AO + OC.
13. Шаг 13: $$AC = 4.25 + 3.75 = 8$$.
14. Шаг 14: Проверим, что O может лежать на отрезке AC.
15. Шаг 15: В треугольнике ABC, OB = 3.75, AB = 2, AO = 4.25.
16. Шаг 16: Угол $$\angle ABC$$ в треугольнике ABC будет равен 90 градусов, если O лежит на AC, C и B на окружности, и AB - касательная.
17. Шаг 17: У нас есть треугольник ABO, где $$\angle ABO = 90^{\circ}$$.
18. Шаг 18: Если O лежит на AC, то AC = AO + OC.
19. Шаг 19: $$AC = 4.25 + 3.75 = 8$$.

Ответ: Длина стороны AC равна 8.