Билет № 6. 3) Основания трапеции 12 и 25. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Краткая запись:

• Трапеция ABCD, BC || AD
• BC = 12
• AD = 25
• MN — средняя линия (M на AB, N на CD)
• Диагональ AC пересекает MN в точке P.
• Найти: больший из отрезков MP или PN.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Средняя линия трапеции MN параллельна основаниям BC и AD. Длина средней линии равна полусумме оснований: \( MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{12 + 25}{2} = \frac{37}{2} = 18.5 \).
2. Шаг 2: Диагональ AC делит трапецию на два треугольника: ABC и ADC.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABC. Средняя линия MN пересекает сторону AB в точке M и диагональ AC в точке P. Так как MN || BC, то MP является средней линией в треугольнике ABC (или отрезком, параллельным основанию).
4. Шаг 4: Отрезок MP равен половине основания BC. \( MP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \).
5. Шаг 5: Рассмотрим треугольник ADC. Средняя линия MN пересекает сторону CD в точке N и диагональ AC в точке P. Так как MN || AD, то PN является средней линией в треугольнике ADC (или отрезком, параллельным основанию).
6. Шаг 6: Отрезок PN равен половине основания AD. \( PN = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 25 = 12.5 \).
7. Шаг 7: Мы нашли два отрезка, на которые диагональ AC делит среднюю линию MN: MP = 6 и PN = 12.5.
8. Шаг 8: Сравниваем длины отрезков: 12.5 > 6.

Ответ: Больший из отрезков равен 12,5.