Билет № 6 1) Дайте определение подобных треугольников. Назовите признаки подобия треугольников. 2) Сформулируйте признаки параллелограмма. (Докажите один из них по выбору) 3) Задача.

Билет № 6

1) Определение и признаки подобных треугольников:

• Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.
• Признаки подобия треугольников:
• По двум углам (УУ): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• По двум сторонам и углу между ними (СУС): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
• По трем сторонам (ССС): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Признаки параллелограмма:

• Признак 1: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Признак 2: Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Признак 3: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Признак 4: Если в четырехугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство Признака 1:

Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого AB = CD и BC = DA. Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них AB = CD, BC = DA (по условию), AC — общая сторона. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует, что ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC. Поскольку ∠BAC = ∠DCA, то прямые AB и CD параллельны (как накрест лежащие углы при секущей AC). Поскольку ∠BCA = ∠DAC, то прямые BC и AD параллельны (как накрест лежащие углы при секущей AC). Таким образом, противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

3) Задача: (Требуется условие задачи)