Билет № 7 1) Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Запишите формулы соотношений, основное тригонометрическое тождество. 2) Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных фигур. 3) Найдите градусную меру ∠MON, если известно, NP – диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°. 4) Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

1. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

\( \sin \alpha = \frac{a}{c} \), где \( a \) – противолежащий катет, \( c \) – гипотенуза.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

\( \cos \alpha = \frac{b}{c} \), где \( b \) – прилежащий катет, \( c \) – гипотенуза.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \), где \( a \) – противолежащий катет, \( b \) – прилежащий катет.

Основное тригонометрическое тождество:

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

2. Теорема об отношении площадей подобных фигур:

Формулировка: Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:

Пусть даны две подобные фигуры F₁ и F₂. Пусть \( k \) – коэффициент подобия, т.е. отношение соответствующих линейных размеров фигур (например, сторон, высот).

\( k = \frac{l_1}{l_2} \), где \( l_1 \) – линейный размер фигуры F₁, \( l_2 \) – соответствующий линейный размер фигуры F₂.

Площадь любой фигуры можно представить как сумму элементарных площадей. Если мы масштабируем все линейные размеры фигуры в \( k \) раз, то каждая элементарная площадь будет масштабирована в \( k^2 \) раз.

Следовательно, вся площадь фигуры масштабируется в \( k^2 \) раз.

\( S_1 = k^2 S_2 \)

Отсюда следует отношение площадей:

\( \frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^2 \)

Теорема доказана.

3. Нахождение градусной меры ∠MON:

Дано:

Вписанный ∠MNP = 18°

NP – диаметр окружности.

Найти: ∠MON

Решение:

1. Угол ∠MNP является вписанным углом, опирающимся на дугу MP. Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, равна удвоенной мере этого угла.

Дуга MP = 2 ⋅ ∠MNP = 2 ⋅ 18° = 36°.

2. Угол ∠MON является центральным углом, опирающимся на ту же дугу MP. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

∠MON = Дуга MP = 36°.

Ответ: 36°.

4. Нахождение высоты прямоугольного треугольника:

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC.

Катеты: \( a = 15 \), \( b = 20 \).

CH – высота, проведённая к гипотенузе.

Найти: \( h_c \) (высоту CH)

Решение:

1. Сначала найдём длину гипотенузы \( c \) по теореме Пифагора:

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

\( c^2 = 15^2 + 20^2 \)

\( c^2 = 225 + 400 \)

\( c^2 = 625 \)

\( c = \sqrt{625} = 25 \)

2. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

Через катеты: \( S = \frac{1}{2}ab \)

Через гипотенузу и высоту, проведённую к ней: \( S = \frac{1}{2}ch_c \)

3. Приравняем эти выражения для площади:

\( \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c \)

\( ab = ch_c \)

Выразим высоту \( h_c \):

\( h_c = \frac{ab}{c} \)

Подставим известные значения:

\( h_c = \frac{15 \cdot 20}{25} \)

\( h_c = \frac{300}{25} \)

\( h_c = 12 \)

Ответ: 12.