Билет 8. 4. Высоты остроугольного треугольника NPT, проведенные из вершин N и P, пересекаются в точке K, угол Т равен 56°. Найти угол NKP.

Краткое пояснение:

В остроугольном треугольнике точка пересечения высот (ортоцентр) делит высоты на отрезки, связанные с углами треугольника. Угол, образованный двумя высотами, связан с третьим углом треугольника.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим вершины треугольника как N, P, T. Высоты, опущенные из N и P, пересекаются в точке K.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник, образованный вершиной T и точкой пересечения высот K. Пусть высота из N пересекает PT в точке N', а высота из P пересекает NT в точке P'. Тогда NK — часть высоты из N, PK — часть высоты из P.
3. Шаг 3: В треугольнике N'PT, ∠PN'T = 90° (так как NN' — высота). В треугольнике NP'T, ∠NP'T = 90° (так как PP' — высота).
4. Шаг 4: Рассмотрим четырехугольник N P' K N'. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
5. Углы ∠NP'K и ∠NN'K равны 90°.
6. Сумма углов ∠P'NK и ∠P'NK равна 180° (т.к. ∠P'NK = ∠NN'K = 90°).
7. Угол ∠NKP является вершиной в четырехугольнике N P' K N'.
8. Угол ∠NKP + ∠NP'K + ∠P'KN' + ∠NN'K = 360°.
9. $$∠NKP + ∠P'NK + ∠NP'T + ∠NN'T = 360°$$
10. Шаг 5: Используем тот факт, что в треугольнике N P' K, ∠NP'K = 90°. В треугольнике P N' K, ∠PN'K = 90°.
11. Рассмотрим треугольник NPT. Угол ∠T = 56°.
12. В треугольнике NPT, сумма углов ∠N + ∠P + ∠T = 180°.
13. Рассмотрим треугольник NPK. Углы ∠PNK и ∠NPK являются частями углов ∠N и ∠P треугольника NPT.
14. Ключевое свойство: Угол между двумя высотами треугольника равен 180° минус угол треугольника, противолежащий стороне, на которую опущены эти высоты. В данном случае, угол между высотами NK и PK (т.е. ∠NKP) равен 180° минус угол T.
15. $$∠NKP = 180° - ∠T$$
16. $$∠NKP = 180° - 56°$$
17. $$∠NKP = 124°$$

Ответ: Угол NKP равен 124°.