25. Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 13 и MB = 15. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Пусть дан треугольник ABC, CM - биссектриса, AM = 13, MB = 15. CD - касательная к окружности, описанной около треугольника ABC. D лежит на прямой AB. Нужно найти CD. По свойству биссектрисы треугольника: $$\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{13}{15}$$ Пусть AC = 13x, BC = 15x. По свойству касательной и секущей к окружности: $$CD^2 = DA \cdot DB$$ По свойству касательной и хорды: $$\angle$$DCA = $$\angle$$CBA $$\triangle$$DCA $$\sim$$ $$\triangle$$DCB по двум углам (общий угол D и $$\angle$$DCA = $$\angle$$CBA). Тогда $$\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{BC}$$ $$\frac{CD}{AC} = \frac{DB}{CB}$$ $$\frac{CD}{13x} = \frac{DB}{15x}$$ $$\frac{CD}{DB} = \frac{13}{15}$$ $$CD = \frac{13}{15} DB$$ По теореме о касательной и секущей: $$CD^2 = AD \cdot BD$$ Пусть AD = y, тогда BD = AB + AD = 13 + 15 + y = 28 + y $$CD^2 = y(28 + y)$$ Так как $$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} = \frac{AC}{BC} = \frac{13}{15}$$, то $$\frac{y}{CD} = \frac{13}{15}$$ $$CD = \frac{15}{13} y$$ Тогда $$(\frac{15}{13} y)^2 = y(28 + y)$$ $$\frac{225}{169} y^2 = 28y + y^2$$ $$\frac{225}{169} y = 28 + y$$ $$\frac{225}{169} y - y = 28$$ $$\frac{225 - 169}{169} y = 28$$ $$\frac{56}{169} y = 28$$ $$y = 28 \cdot \frac{169}{56} = \frac{169}{2} = 84.5$$ $$CD = \frac{15}{13} y = \frac{15}{13} \cdot \frac{169}{2} = \frac{15 \cdot 13}{2} = \frac{195}{2} = 97.5$$ Ответ: 97.5