22. Постройте график функции у=\frac{(x-1)(x²-4)}{x-2} прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию: $$y = \frac{(x-1)(x^2 - 4)}{x - 2} = \frac{(x-1)(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$$ При $$x
eq 2$$ имеем $$y = (x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$$ Таким образом, графиком функции является парабола $$y = x^2 + x - 2$$ с выколотой точкой при $$x = 2$$. Найдем значение y в выколотой точке: $$y(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4$$ Вершина параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$$ $$y_в = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1 - 2 - 8}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25$$ Парабола $$y = x^2 + x - 2$$ пересекает ось x в точках, где y = 0: $$x^2 + x - 2 = 0$$ $$(x + 2)(x - 1) = 0$$ $$x_1 = -2, x_2 = 1$$ Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (-2, 0) и (1, 0). Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через выколотую точку. В вершине параболы $$y = -2.25$$. В выколотой точке $$y = 4$$.

График функции: Парабола с вершиной (-0.5; -2.25) и выколотой точкой (2; 4)
      ^
      |
      |   * (2;4) - выколотая точка
      |   
------|--------------------->
      |  *
      | / \
      |/   \
      *----* (-2;0) и (1;0) - нули функции
     (-0.5; -2.25) - вершина параболы
      |
      |
      V

Прямая $$y = m$$ имеет ровно одну общую точку с графиком, если $$m = -2.25$$ или $$m = 4$$. Ответ: -2.25, 4