20. Решите систему уравнений [x² + y² = 65, xy = 8. }

Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 65 \ xy = 8 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим y через x: $$y = \frac{8}{x}$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 65$$ $$x^2 + \frac{64}{x^2} = 65$$ Умножим обе части уравнения на $$x^2$$: $$x^4 + 64 = 65x^2$$ $$x^4 - 65x^2 + 64 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 65t + 64 = 0$$ Решим это квадратное уравнение: $$D = (-65)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 4225 - 256 = 3969$$ $$\sqrt{D} = 63$$ $$t_1 = \frac{65 + 63}{2} = \frac{128}{2} = 64$$ $$t_2 = \frac{65 - 63}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Теперь найдем значения x: Если $$t_1 = 64$$, то $$x^2 = 64$$, следовательно, $$x_1 = 8$$ или $$x_2 = -8$$ Если $$t_2 = 1$$, то $$x^2 = 1$$, следовательно, $$x_3 = 1$$ или $$x_4 = -1$$ Теперь найдем соответствующие значения y: Если $$x_1 = 8$$, то $$y_1 = \frac{8}{8} = 1$$ Если $$x_2 = -8$$, то $$y_2 = \frac{8}{-8} = -1$$ Если $$x_3 = 1$$, то $$y_3 = \frac{8}{1} = 8$$ Если $$x_4 = -1$$, то $$y_4 = \frac{8}{-1} = -8$$ Таким образом, решения системы: $$(8, 1), (-8, -1), (1, 8), (-1, -8)$$ Ответ: (8, 1), (-8, -1), (1, 8), (-1, -8)