9. Биссектрисы прямого и острого углов прямоугольного треугольника при пересечении образуют углы, один из которых равен 54 градуса. Найдите острые углы треугольника

Пусть углы прямоугольного треугольника равны 90°, α и β, причем α + β = 90°. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°. Биссектриса острого угла α делит его на два угла по α/2. Рассмотрим треугольник, образованный пересечением биссектрис. Один из его углов равен 54°. Два других угла - это 45° и α/2. Следовательно, 45° + α/2 + 54° = 180°. α/2 = 180° - 45° - 54° = 81°. α = 2 * 81° = 162°. Но это невозможно, так как α должен быть острым углом (меньше 90°). Значит, 54° - это внешний угол образованного треугольника. Тогда внутренний угол равен 180° - 54° = 126°. Угол между биссектрисами 126°, значит 45 + \(\frac{\alpha}{2}\) < 180. Рассмотрим другой случай. Пусть 54° - это угол между биссектрисой прямого угла и стороной. Тогда 45° + \(\frac{\alpha}{2}\) + х = 180° (х = 54°). Уравнение: 45° + α/2 + 54° = 180° => α/2 + x + 45 = 180; alpha/2 + x + 45 = 180; α/2 = 180 - 45 - 54 = 81 => α = 162. Это тоже неверно. Предположим, один из углов равен 54. Найдем острые углы. Тогда либо 45 + \(\frac{\alpha}{2}\) = 54 ⇒ α/2 = 9 ⇒ α = 18 ⇒ β = 90 − 18 = 72. Либо \(\frac{\alpha}{2}\) + \(\frac{\beta}{2}\) = 54 ⇒ α + β = 108. Что противоречит условию α+β=90. Ответ: острые углы треугольника 18° и 72°.