23. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВCD пересекаются в точке F, находящейся внутри трапеции. Найдите АВ, если AF = 12, BF= 9.

Рассмотрим трапецию ABCD, где биссектрисы углов A и B пересекаются в точке F на стороне AB.

Поскольку AF и BF - биссектрисы углов A и B, то углы FАВ и FBA равны половине углов А и В соответственно.

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°, то есть ∠A + ∠B = 180°.

Тогда ∠FAB + ∠FBA = (1/2)∠A + (1/2)∠B = (1/2)(∠A + ∠B) = (1/2)(180°) = 90°.

Следовательно, треугольник ABF является прямоугольным с прямым углом F.

По теореме Пифагора, AB² = AF² + BF².

AB² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225.

AB = √225 = 15.

Ответ: 15