22. Постройте график функции у = |x| (х-2) - 3x. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = |x|(x - 2) - 3x$$

Раскроем модуль:

1) Если $$x \ge 0$$, то $$y = x(x - 2) - 3x = x^2 - 2x - 3x = x^2 - 5x$$

2) Если $$x < 0$$, то $$y = -x(x - 2) - 3x = -x^2 + 2x - 3x = -x^2 - x$$

Таким образом, функция имеет вид:

$$y = \begin{cases} x^2 - 5x, & x \ge 0 \\ -x^2 - x, & x < 0 \end{cases}$$

Построим график данной функции.

1. Для $$x \ge 0$$, это парабола $$y = x^2 - 5x$$ с вершиной в точке $$x_v = \frac{-(-5)}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$$, $$y_v = (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 = 6.25 - 12.5 = -6.25$$.
2. Для $$x < 0$$, это парабола $$y = -x^2 - x$$ с вершиной в точке $$x_v = \frac{-(-1)}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{2} = -0.5$$, $$y_v = -(-0.5)^2 - (-0.5) = -0.25 + 0.5 = 0.25$$

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда m = 0 или m = -6.25.

Ответ: m = 0; m = -6.25