6. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 20, BF = 15.

Так как AF и BF - биссектрисы углов A и B соответственно, то углы FАВ и FBA равны половинам углов A и B. В трапеции ABCD углы А и В, прилежащие к боковой стороне АВ, являются односторонними и их сумма равна 180 градусов: ∠A + ∠B = 180°. Тогда \(\frac{1}{2}\)∠A + \(\frac{1}{2}\)∠B = \(\frac{1}{2}\)(∠A + ∠B) = \(\frac{1}{2}\)*180° = 90°. В треугольнике ABF: ∠FAB + ∠FBA + ∠AFB = 180°. Так как ∠FAB + ∠FBA = 90°, то ∠AFB = 180° - 90° = 90°. Треугольник ABF - прямоугольный, и AB является гипотенузой. По теореме Пифагора: AB² = AF² + BF² AB² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625 AB = √625 = 25 Ответ: 25