23. Биссектрисы углов при стороне CD параллелограмма ABCD пересекаются в точке Р. Найдите CD, если СP = 12, DP = 35.

**Решение:** 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Биссектрисы углов \(\angle C\) и \(\angle D\) пересекаются в точке P. Так как CD – сторона параллелограмма, углы \(\angle C\) и \(\angle D\) являются внутренними односторонними при параллельных сторонах и секущей CD. Следовательно, \(\angle C + \angle D = 180^\circ\). 2. Поскольку CP и DP – биссектрисы, то \(\angle PCD = \frac{1}{2} \angle C\) и \(\angle PDC = \frac{1}{2} \angle D\). Значит, \(\angle PCD + \angle PDC = \frac{1}{2} (\angle C + \angle D) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ\). 3. В треугольнике CPD сумма углов равна 180°, следовательно, \(\angle CPD = 180^\circ - (\angle PCD + \angle PDC) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Таким образом, треугольник CPD является прямоугольным. 4. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике CPD: $$CD^2 = CP^2 + DP^2$$ 5. Подставим известные значения: $$CD^2 = 12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$$ 6. Извлечем квадратный корень: $$CD = \sqrt{1369} = 37$$ **Ответ:** CD = 37