12. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне AD. Докажите, что М — середина AD.

Доказательство: Пусть BM и CM — биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD, пересекающиеся в точке M на стороне AD. Так как BM — биссектриса угла B, то угол ABM равен углу CBM. Поскольку AB||CD, угол ABM равен углу BMC как накрест лежащие углы. Следовательно, угол CBM равен углу BMC, а значит, треугольник BCM — равнобедренный и BC = CM. Аналогично, так как CM — биссектриса угла C, то угол DCM равен углу BCM. Так как BC||AD, угол DCM равен углу AMC как накрест лежащие. Следовательно, угол BCM равен углу AMC, а значит, треугольник CBM — равнобедренный и AB = BM. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD и BC = AD. Из полученных равенств следует, что AB = BM и CD = CM. Но AD = AM + MD, следовательно, AM + MD = BC. Так как BM и CM — биссектрисы, то треугольники ABM и CDM — равнобедренные, AM = AB и DM = DC. А так как ABCD параллелограмм, то AB = CD, следовательно AM = MD. Значит, M — середина AD.