Боковая поверхность цилиндра равна 80. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Найти полную поверхность цилиндра.

Решение:

Пусть \( r \) — радиус основания цилиндра, \( H \) — его высота.

Боковая поверхность цилиндра \( S_{бок} = 2\pi r H \). По условию \( S_{бок} = 80 \).

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, диагонали которого равны, а стороны равны диаметру основания \( 2r \) и высоте \( H \).

По условию, осевое сечение — квадрат. Это означает, что \( 2r = H \).

Подставим \( H = 2r \) в формулу боковой поверхности:

\( 80 = 2\pi r (2r) \)

\( 80 = 4\pi r^2 \)

\( r^2 = \frac{80}{4\pi} = \frac{20}{\pi} \)

Тогда \( H = 2r = 2\sqrt{\frac{20}{\pi}} = 2 · 2\sqrt{\frac{5}{\pi}} = 4\sqrt{\frac{5}{\pi}} \).

Полная поверхность цилиндра равна сумме боковой поверхности и площадей двух оснований:

\( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 80 + 2\pi r^2 \)

Подставим значение \( r^2 = \frac{20}{\pi} \):

\( S_{полн} = 80 + 2\pi · \frac{20}{\pi} \)

\( S_{полн} = 80 + 2 · 20 \)

\( S_{полн} = 80 + 40 = 120 \)

Ответ: 120