Площадь поверхности шара равна 43. Найти площадь поверхности другого шара, объем которого в 27 раз больше объема данного шара.

Решение:

Пусть \( S_1 \) и \( V_1 \) — площадь поверхности и объем первого шара, а \( S_2 \) и \( V_2 \) — второго шара.

Дано: \( S_1 = 43 \) и \( V_2 = 27 · V_1 \).

Формулы для шара:

Площадь поверхности: \( S = 4\pi r^2 \)

Объем: \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)

Из отношения объемов:

\( \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_2^3}{\frac{4}{3}\pi r_1^3} = \frac{r_2^3}{r_1^3} = (\frac{r_2}{r_1})^3 \)

По условию, \( \frac{V_2}{V_1} = 27 \).

\( (\frac{r_2}{r_1})^3 = 27 \)

\( \frac{r_2}{r_1} = \sqrt[3]{27} = 3 \)

Значит, радиус второго шара в 3 раза больше радиуса первого: \( r_2 = 3 r_1 \).

Теперь найдем отношение площадей поверхности:

\( \frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi r_2^2}{4\pi r_1^2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = (\frac{r_2}{r_1})^2 \)

Подставим \( \frac{r_2}{r_1} = 3 \):

\( \frac{S_2}{S_1} = 3^2 = 9 \)

\( S_2 = 9 · S_1 \)

\( S_2 = 9 · 43 \)

\( S_2 = 387 \)

Ответ: 387