В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.

Решение:

Для цилиндра, описанного около прямой призмы, основанием которой является квадрат, радиус основания цилиндра равен радиусу описанной окружности квадрата, а высота цилиндра равна высоте призмы.

Сторона квадрата \( a = 3 \). Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали: \( R = \frac{d}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \).

Высота призмы (и цилиндра) дана как \( H \) (в условии не указано числовое значение, но для объема цилиндра оно не требуется, если исходить из того, что это не задача на конкретное числовое значение, а на формулу).

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\( V_{цилиндра} = \pi R^2 H \)

\( V_{цилиндра} = \pi (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 H \)

\( V_{цилиндра} = \pi · \frac{9 · 2}{4} H \)

\( V_{цилиндра} = \pi · \frac{18}{4} H \)

\( V_{цилиндра} = \frac{9\pi}{2} H \)

Ответ: \( \frac{9\pi}{2} H \), где H - высота призмы.