1. Боковая сторона равнобедренного треугольника АВС равна 3, а основание АС равно 2. В этом треугольнике провели биссектрисы AL и СМ. Найдите длину отрезка LM.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 3 и AC = 2. AL и CM — биссектрисы углов A и C соответственно. Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

Биссектрисы AL и CM делят углы ∠BAC и ∠BCA пополам, следовательно, ∠LAC = ∠LCA.

Треугольник ALC также равнобедренный, так как ∠LAC = ∠LCA, и AL = LC.

Чтобы найти длину LM, рассмотрим треугольники ABC и LMC. У них общий угол ∠BCA, и стороны, образующие этот угол, пропорциональны: BC/LC = AC/MC = 3/(AC/2) = 3, так как LC = AL и MC = AC/2.

Таким образом, треугольники ABC и LMC подобны по углу и пропорциональным сторонам (по второму признаку подобия треугольников).

Значит, LM/AB = LC/BC

LM = (LC*AC)/AB = (1 * 2) / 3 = 2/3

Ответ: 2/3