6. Диагонали АС и BD трапеции АВСD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и ВОС равны соответственно 16 см² и 9 см². Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где AC и BD — диагонали, пересекающиеся в точке O. Площадь треугольника AOD равна 16 см², а площадь треугольника BOC равна 9 см².

Треугольники AOD и BOC подобны, так как имеют равные углы при основаниях (накрест лежащие углы при параллельных основаниях трапеции и секущих диагоналях).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

(S_AOD) / (S_BOC) = k^2

k^2 = 16 / 9

k = √(16 / 9) = 4 / 3

Пусть AO = 4x и OC = 3x, DO = 4y и OB = 3y.

Площадь треугольника AOD = (1/2) * AO * DO * sin(∠AOD) = 16

Площадь треугольника BOC = (1/2) * BO * OC * sin(∠BOC) = 9

Площадь треугольника AOB = (1/2) * AO * OB * sin(∠AOB)

Площадь треугольника COD = (1/2) * CO * OD * sin(∠COD)

∠AOD = ∠BOC и ∠AOB = ∠COD, так как это вертикальные углы.

S_AOB = S_COD

S_AOB = √(S_AOD * S_BOC) = √(16 * 9) = √144 = 12

Площадь трапеции ABCD = S_AOD + S_BOC + S_AOB + S_COD = 16 + 9 + 12 + 12 = 49 см²

Ответ: 49 см²