№2 Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3 : 4, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

Решение: Пусть ABC – равнобедренный треугольник, где AB = BC. Пусть точка касания вписанной окружности к стороне BC - точка K. По условию BK : KC = 3 : 4. Пусть BK = 3x, KC = 4x. Тогда BC = BK + KC = 3x + 4x = 7x. Обозначим основание AC = 12 см. Пусть L и M - точки касания окружности к сторонам AB и AC соответственно. Тогда AM = MC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 см. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, AM = AL и CM = CK. Следовательно, AL = 6 см и CK = 4x. Так как AB = BC, то AB = 7x. Тогда LB = AB - AL = 7x - 6 см. Также LB = BK, как касательные, проведенные из одной точки. Значит, 7x - 6 = 3x. Решим уравнение: 7x - 3x = 6; 4x = 6; x = 1.5. Тогда BC = 7x = 7 * 1.5 = 10.5 см. Ответ: Боковая сторона треугольника равна 10.5 см.