№1 На серединном перпендикуляре стороны АВ треугольника АВС отмечена такая точка О, что ∠OAC = ∠OCA. Докажите, что точка О – центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение: 1. Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB, то OA = OB. Это следует из свойства серединного перпендикуляра: каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. 2. Дано, что ∠OAC = ∠OCA. Это означает, что треугольник OAC равнобедренный, и OA = OC. 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что OA = OB = OC. Таким образом, точка O равноудалена от всех трех вершин треугольника ABC. 4. По определению, точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, является центром описанной окружности. 5. Следовательно, точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Что и требовалось доказать.