№3 В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 2 см.

Решение: Пусть ABC – прямоугольный треугольник (∠C = 90°), AB – гипотенуза. Пусть точка K касания окружности к AB делит гипотенузу на отрезки AK = 4 см и KB = 6 см. Тогда AB = AK + KB = 4 + 6 = 10 см. Пусть M и N – точки касания окружности к сторонам AC и BC соответственно. Пусть радиус вписанной окружности r = 2 см. Тогда CM = CN = r = 2 см. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, AM = AK = 4 см и BN = BK = 6 см. Обозначим AC = AM + MC = 4 + 2 = 6 см. BC = BN + NC = 6 + 2 = 8 см. Периметр треугольника P = AB + BC + AC = 10 + 8 + 6 = 24 см. Ответ: Периметр треугольника равен 24 см.