№5 На рисунке диаметры АВ и CD окружности лежат на перпендикулярных прямых, МО = ЕО. Докажите, что АМ = ВЕ.

Решение: 1. Рассмотрим окружность с центром в точке О. 2. AB и CD - диаметры окружности, следовательно, AO = OB = CO = OD = r (радиусы окружности). 3. AB и CD - перпендикулярны, то есть ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = ∠DOA = 90°. 4. Дано: MO = EO. 5. Рассмотрим треугольники △AOM и △BOE. В них: * AO = BO = r (радиусы окружности) * ∠AOM = ∠BOE (вертикальные углы) * MO = EO (по условию) 6. Следовательно, △AOM = △BOE (по первому признаку равенства треугольников - по двум сторонам и углу между ними). 7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM = BE. Что и требовалось доказать.