Боковая сторона равнобедренного треугольника делятся точкой касания вписанной окружности в отношении 3 : 2, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 64 см.

Решение:

Пусть ∆ ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC. AB = BC. Точка O — центр вписанной окружности, точка D — точка касания окружности со стороной AB.

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении 3 : 2, считая от вершины угла при основании. Это означает, что вершина при основании — это B. Однако, в условии задачи сказано «вершины угла при основании», что может быть неоднозначно. Будем считать, что имеется в виду вершина равнобедренного треугольника (угол при вершине B), а не углы при основании (A и C).

Если точка касания делит боковую сторону в отношении 3 : 2, считая от вершины B, то BD : DA = 3 : 2. (или BO : OD = 3 : 2, если считать от вершины B к основанию).

Важно: Точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки, равные между собой: если окружность касается сторон AB, BC, AC в точках D, E, F соответственно, то AD=AF, BD=BE, CE=CF.

Для равнобедренного ∆ ABC с основанием AC, точки касания: D на AB, E на BC, F на AC. У нас AB = BC, следовательно, AD = BE.

Точка касания D делит боковую сторону AB. По условию, считая от вершины угла при основании (вершина B), отношение равно 3:2. Значит, BD : DA = 3 : 2.

Пусть BD = 3x, тогда DA = 2x.

Сторона AB = BD + DA = 3x + 2x = 5x.

Так как ∆ ABC равнобедренный (AB = BC), то BC = 5x.

Также, AD = BE = 2x.

Теперь найдем длину основания AC. Точка касания F делит основание AC. В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины B, совпадают. Эта линия также является и осью симметрии и проходит через центр вписанной окружности и точку касания F. Значит, AF = FC.

Мы имеем:

• AB = 5x
• BC = 5x
• AD = 2x, BE = 2x

Теперь рассмотрим точку касания F на основании AC.

Из свойств вписанной окружности, отрезки от вершин до точек касания равны: AF = AD и CF = CE.

У нас AD = 2x, значит AF = 2x.

У нас BE = 2x. Для точки касания E на BC, CE = BC - BE = 5x - 2x = 3x.

Так как CF = CE, то CF = 3x.

Основание AC = AF + FC = 2x + 3x = 5x.

Проверка:

AD = 2x, AF = 2x. (Верно)

BD = 3x, BE = 2x. (Неверно, должно быть BD = BE)

Переосмысливаем условие:

«Боковая сторона равнобедренного треугольника делятся точкой касания вписанной окружности в отношении 3 : 2, считая от вершины угла при основании треугольника.»

Это означает, что если точка касания — D на AB, то BD / DA = 3 / 2. Это верно.

Но! Для равнобедренного треугольника с основанием AC, точки касания D и E на боковых сторонах AB и BC будут отсекать равные отрезки от вершины B. То есть BD = BE.

Если BD = 3x, то DA = 2x. И AB = 5x. Тогда BC = 5x.

Значит, BE = 3x. Но тогда DA = AB - BD = 5x - 3x = 2x. И EC = BC - BE = 5x - 3x = 2x.

Значит, DA = 2x и EC = 2x.

Точки касания: D на AB, E на BC, F на AC.

AD = AF = 2x

BD = BE = 3x

CE = CF = 2x

Тогда стороны треугольника:

AB = AD + DB = 2x + 3x = 5x

BC = BE + EC = 3x + 2x = 5x

AC = AF + FC = 2x + 2x = 4x

Периметр треугольника равен 64 см:

P = AB + BC + AC = 5x + 5x + 4x = 14x.

14x = 64

x = 64 / 14 = 32 / 7.

Теперь находим длины сторон:

AB = BC = 5x = 5 * (32 / 7) = 160 / 7 см.

AC = 4x = 4 * (32 / 7) = 128 / 7 см.

Проверка:

AD = 2x = 64/7. AF = 2x = 64/7.

BD = 3x = 96/7. BE = 3x = 96/7.

CE = 2x = 64/7. CF = 2x = 64/7.

AB = 64/7 + 96/7 = 160/7.

BC = 96/7 + 64/7 = 160/7.

AC = 64/7 + 64/7 = 128/7.

Периметр = 160/7 + 160/7 + 128/7 = (320 + 128) / 7 = 448 / 7 = 64. (Верно)

Ответ: Стороны треугольника равны 160/7 см, 160/7 см и 128/7 см.