Отрезок ВМ — медиана равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС). На стороне АВ отметили точку, такую, что КМ || ВС. Докажите, что ВК = КМ.

Доказательство:

1. Дано:

• ∆ ABC — равнобедренный, AB = BC.
• BM — медиана.
• K ∈ AB.
• KM ‖ BC.

2. Доказать:

• BK = KM

3. Доказательство:

1. Поскольку BM — медиана, то M — середина стороны AC. Следовательно, AM = MC.
2. Так как ∆ ABC равнобедренный с AB = BC, то углы при основании равны: ∠ BAC = ∠ BCA.
3. Рассмотрим ∆ BKM и ∆ ABC.
4. Поскольку KM ‖ BC, и AB — секущая, то ∠ BKM = ∠ ABC (соответственные углы).
5. Поскольку KM ‖ BC, и AC — секущая, то ∠ KMC = ∠ BCA (накрест лежащие углы).
6. Из этого следует, что ∠ BAC = ∠ KMC.
7. Рассмотрим ∆ BKM. Нам нужно доказать, что он равнобедренный, т.е. BK = KM.
8. Альтернативный подход:
9. Так как KM ‖ BC, то ∆ AKM подобен ∆ ABC.
10. Из подобия следует: AK / AB = AM / AC = KM / BC.
11. Так как M — середина AC, то AM = MC. Следовательно, AC = AM + MC = 2AM.
12. Подставим в соотношение подобия: AM / (2AM) = KM / BC.
13. 1/2 = KM / BC.
14. Отсюда KM = BC / 2.
15. По условию AB = BC.
16. Значит, KM = AB / 2.
17. M — середина AC. BM — медиана.
18. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой и биссектрисой.
19. Важно: Это утверждение верно, если AC — основание. В данном случае AB = BC, значит, основание — AC.
20. Итак, BM ⊥ AC.
21. Рассмотрим ∆ BKM.
22. У нас есть: KM = AB / 2.
23. Нам нужно доказать, что BK = KM.
24. Это значит, что BK = AB / 2.
25. Если BK = AB / 2, то K — середина AB.
26. Проверим, является ли K серединой AB.
27. Рассмотрим ∆ ABC. KM ‖ BC.
28. Если KM ‖ BC и M — середина AC, то по теореме Фалеса (или теореме о средней линии), K должна быть серединой AB.
29. (Теорема: Если средняя линия треугольника параллельна одной из сторон, то она соединяет середины двух других сторон.)
30. KM — отрезок, соединяющий точку K на AB и точку M на AC.
31. KM ‖ BC. M — середина AC.
32. Следовательно, K — середина AB.
33. Значит, BK = AK = AB / 2.
34. Мы ранее получили, что KM = AB / 2.
35. Таким образом, BK = KM.

Что и требовалось доказать.