Докажите, что треугольник АВС равнобедренный (рис. 273), если AD = EC и ∠BDE = ∠BED.

Доказательство:

1. Анализ условия:

• ∆ ABC
• AD = EC
• ∠ BDE = ∠ BED

2. Из равенства углов ∠ BDE = ∠ BED следует:

Углы ∠ BDE и ∠ BED являются углами при основании DE в ∆ BDE. Следовательно, ∆ BDE — равнобедренный, а значит, стороны, лежащие напротив этих углов, равны: BE = BD.

3. Рассмотрим ∆ ABC:

Чтобы доказать, что ∆ ABC равнобедренный, нам нужно показать, что две его стороны равны (например, AB = BC или AC = BC или AB = AC).

Мы знаем, что AB = AD + DB и BC = BE + EC.

Поскольку AD = EC (дано) и DB = BE (доказано), то, складывая равные отрезки:

∆ AB = AD + DB = EC + BE = BC.

Следовательно, AB = BC.

4. Вывод:

Так как две стороны ∆ ABC равны (AB = BC), то ∆ ABC является равнобедренным треугольником.

Что и требовалось доказать.