3. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Пусть a - меньшее основание трапеции, которое равно боковой стороне. Тогда боковая сторона равна a, и большее основание равно 12. Угол при основании равен 60°. Проведем высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник. Так как трапеция равнобедренная, отрезки, отсекаемые высотами на большем основании, равны. Обозначим длину этих отрезков за x. Тогда 12 = a + 2x. В прямоугольном треугольнике cos(60°) = x/a, следовательно, x = a * cos(60°) = a/2. Подставим x в уравнение: 12 = a + 2 * (a/2) = a + a = 2a. Отсюда a = 6. Таким образом, трапеция ABCD с основаниями BC = 6 и AD = 12, боковые стороны AB = CD = 6. Так как AB = BC = CD = 6 и углы при основании AD равны 60 градусам, то угол ABC = 120 градусов. Действительно, углы трапеции, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают 180 градусов, поэтому углы BAD и ABC составляют в сумме 180, тогда угол ABC = 180-60 = 120 градусов. Чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать либо три стороны и площадь, либо воспользоваться теоремой синусов. Найдем диагональ AC. В треугольнике ABC стороны AB = BC = 6, угол ABC = 120. По теореме косинусов AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cos(120) = 6^2 + 6^2 - 2*6*6*(-1/2) = 36 + 36 + 36 = 108. AC = sqrt(108) = 6*sqrt(3). Теперь применим теорему синусов: 2R = AC/sin(ABC). sin(120) = sin(60) = sqrt(3)/2. 2R = (6*sqrt(3)) / (sqrt(3)/2) = 6*sqrt(3) * 2/sqrt(3) = 12. R = 6. Ответ: 6