2. Боковое ребро правильной четырехугольной В пирамиды равно 2 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45 а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусам. Обозначим высоту пирамиды за h, а боковое ребро за l.

Тогда $$sin(45^\circ) = \frac{h}{l}$$, отсюда $$h = l \cdot sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ см}$$.

б) Так как пирамида правильная четырехугольная, то в основании лежит квадрат. Найдем сторону основания a. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром. По теореме Пифагора:

$$(\frac{a}{2})^2 + h^2 = l^2$$ $$(\frac{a}{2})^2 = l^2 - h^2 = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$$ $$\frac{a}{2} = \sqrt{2}$$, $$a = 2\sqrt{2} \text{ см}$$.

Площадь основания $$S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \text{ см}^2$$.

Апофема (высота боковой грани) $$h_\text{бок}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Тогда

$$h_\text{бок} = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \text{ см}$$.

Площадь одной боковой грани $$S_\text{бок.гр.} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_\text{бок} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2} \text{ см}^2$$.

Площадь боковой поверхности $$S_\text{бок} = 4 \cdot S_\text{бок.гр.} = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \text{ см}^2$$.

Ответ: а) $$\sqrt{2}$$ см; б) $$8\sqrt{2}$$ см²