2. Высота правильной четырехугольной пирамиды ва равна см, a боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Недостаточно данных в условии. Считаем, что высота пирамиды равна а.

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусам. Обозначим высоту пирамиды за h = a, а боковое ребро за l.

Тогда $$cos(60^\circ) = \frac{d/2}{l}$$, отсюда $$l = \frac{h}{sin(60^\circ)} = \frac{a}{sin(60^\circ)} = a/(\sqrt{3}/2) = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \text{ см}$$.

Здесь d/2 - половина диагонали квадрата основания.

б) Найдем сторону основания b. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. По теореме Пифагора:

$$(d/2)^2 + h^2 = l^2$$ $$(d/2)^2 = l^2 - h^2 = (\frac{2a\sqrt{3}}{3})^2 - a^2 = \frac{4a^2 \cdot 3}{9} - a^2 = \frac{4a^2}{3} - a^2 = \frac{a^2}{3}$$ $$\frac{d}{2} = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, $$d = \frac{2a}{\sqrt{3}}$$.

Диагональ квадрата $$d = b\sqrt{2}$$, тогда $$b = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{6}} = \frac{2a \sqrt{6}}{6} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$$.

Площадь основания $$S_{осн} = b^2 = (\frac{a \sqrt{6}}{3})^2 = \frac{a^2 \cdot 6}{9} = \frac{2a^2}{3} \text{ см}^2$$.

Апофема (высота боковой грани) $$h_\text{бок}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Тогда

$$h_\text{бок}^2 = h^2 + (b/2)^2 = a^2 + (\frac{a \sqrt{6}}{6})^2 = a^2 + \frac{a^2 \cdot 6}{36} = a^2 + \frac{a^2}{6} = \frac{7a^2}{6}$$.

$$h_\text{бок} = \sqrt{\frac{7a^2}{6}} = a \sqrt{\frac{7}{6}} = a\frac{\sqrt{42}}{6}$$.

Площадь одной боковой грани $$S_\text{бок.гр.} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_\text{бок} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{3} \cdot a\frac{\sqrt{42}}{6} = \frac{a^2 \sqrt{252}}{36} = \frac{a^2 \sqrt{36 \cdot 7}}{36} = \frac{6a^2 \sqrt{7}}{36} = \frac{a^2 \sqrt{7}}{6} \text{ см}^2$$.

Площадь боковой поверхности $$S_\text{бок} = 4 \cdot S_\text{бок.гр.} = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{7}}{6} = \frac{2a^2 \sqrt{7}}{3} \text{ см}^2$$.

Ответ: а) $$\frac{2a\sqrt{3}}{3}$$ см; б) $$\frac{2a^2 \sqrt{7}}{3}$$ см²