3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения.

Решение:

1. Пусть M - середина ребра DA. Проведем через точку M прямую, параллельную плоскости DBC.

2. Поскольку сечение параллельно плоскости DBC, оно будет пересекать грани тетраэдра по прямым, параллельным ребрам DB и DC.

3. Проведем через точку M прямую MN, параллельную DB (N лежит на AB). Проведем через точку M прямую MK, параллельную DC (K лежит на AC). Проведем прямую NK. Тогда сечение MNK - искомое.

4. Поскольку MN || DB и MK || DC, а M - середина DA, то MN и MK - средние линии треугольников ADB и ADC соответственно.

5. Значит, MN = 1/2 DB = a/2 и MK = 1/2 DC = a/2. Также NK = 1/2 BC = a/2.

6. Таким образом, треугольник MNK - равносторонний со стороной a/2.

7. Площадь равностороннего треугольника со стороной a/2 равна:

$$S = \frac{(a/2)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$$.

      D
     / \
    /   \
   M-----K
  / \   /
 /   \ /
A-----N
 \   /
  \ /
   B-C

Ответ: $$\frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$$