3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середины ребер DA и АВ параллельно ребру ВС, и найдите площадь этого сечения.

Решение:

1. Пусть M - середина ребра DA, N - середина ребра AB. Тогда MN - средняя линия треугольника DAB. Следовательно, MN || DB.

2. Проведем через точки M и N прямую, параллельную ребру BC. Поскольку сечение параллельно BC, оно будет пересекать грань ADC по прямой, параллельной BC. Пусть K - точка пересечения этой прямой с ребром DC. Тогда MK || BC.

3. Аналогично, проведем через точку N прямую NL, параллельную BC (L лежит на AC). Тогда NL || BC.

4. Сечением будет четырехугольник MNKL. Поскольку MK || BC и NL || BC, то MK || NL. Следовательно, MNKL - трапеция.

5. Так как M и N - середины DA и AB соответственно, то MN = 1/2 DB = a/2. Аналогично, KL = 1/2 BC = a/2.

6. Поскольку MK || BC и NL || BC, а K и L лежат на DC и AC соответственно, то MK = NL.

7. Высота трапеции MNKL равна половине высоты грани ABC. Высота грани ABC равна $$\frac{a \sqrt{3}}{2}$$, следовательно, высота трапеции равна $$\frac{a \sqrt{3}}{4}$$.

8. Площадь трапеции MNKL равна:

$$S = \frac{MN + KL}{2} \cdot h = \frac{a/2 + a/2}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{4} = \frac{a}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{8}$$.

       D
      / \
     /   \
    M-----K
   /     \
  /       \
 A-----N----B
  \       /
   \     /
    L-----C

Ответ: $$\frac{a^2 \sqrt{3}}{8}$$