25. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Пусть E - середина AB, через которую проходит биссектриса угла ADC. Так как AE = EB и биссектриса угла ADC проходит через E, то $$\angle ADE = \angle CDE$$. Продлим DE до пересечения с прямой BC в точке F. $$\angle ADE = \angle CDE$$ (DE - биссектриса). $$\angle ADE = \angle CF D$$ (накрест лежащие углы при параллельных основаниях BC и AD и секущей DE). Следовательно, $$\angle CDE = \angle CFD$$, значит треугольник CDF - равнобедренный и CD = CF = 25. Тогда BF = CF - BC = 25 - 5 = 20. Рассмотрим треугольник ABF. Так как AE = EB и BC || AD, то BF = FC = 20. Но AB = 20. Значит, треугольник ABF - равносторонний, все углы равны 60 градусам. Значит, $$\angle ABC = 120^{\circ}$$. Тогда и $$\angle BCD = 60^{\circ}$$. Проведем высоты BH и CK. Тогда AK = BC = 5. HD = AD - AH = AD - BC = AD - 5. AH = BC = 5, так как ABHK - прямоугольник. KD = AB - KD = 25, так как BC = 5, CD = 25, AB = 20 Рассмотрим треугольник CDK: $$\sin 60^{\circ} = \frac{CK}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ => $$CK = 25 * \frac{\sqrt{3}}{2}$$ = 25/2 * sqrt(3). Рассмотрим треугольник ABH $$\sin 60^{\circ} = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ => $$BH = 20 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$$ AD = AK + KD = 20 + 5 + AH =25. Поскольку BH=CK -> трапеция равнобедренная. Площадь трапеции: S = $$\frac{BC+AD}{2} * BH= \frac{5+25}{2} * 10\sqrt{3} = 150\sqrt{3}$$ Ответ: $$150\sqrt{3}$$