22. Постройте график функции y = ((x²+7x+12)(x²+3x+2)) / (x² + 6x + 8). При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком данной функции одну общую точку?

Сначала упростим функцию: $$y = \frac{(x^2+7x+12)(x^2+3x+2)}{x^2+6x+8} = \frac{(x+3)(x+4)(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+4)}$$ Сократим на общие множители (x+2) и (x+4), но учтем, что x ≠ -2 и x ≠ -4: $$y = (x+3)(x+1) = x^2 + 4x + 3$$, при $$x ≠ -2$$ и $$x ≠ -4$$. Графиком является парабола с вершиной: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2$$ Но в точке $$x=-2$$ есть выколотая точка. $$y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$. Также есть выколотая точка в $$x=-4$$: $$y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$$. Чтобы прямая $$y = m$$ имела одну общую точку, она должна проходить либо через вершину параболы (которая является выколотой), либо касаться параболы в другой точке. Вершина параболы: $$x=-2$$, $$y=-1$$. Но эта точка выколота, значит, пересечения нет. Чтобы прямая $$y = m$$ имела только одну общую точку, она должна пройти через точку, где x=-4, то есть y=3. Еще один случай, когда прямая касается параболы в единственной точке: Нужно найти вершину параболы $$y = x^2 + 4x + 3$$. Её абсцисса $$x_в = -2$$, а ордината $$y_в = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$. Но $$x = -2$$ - выколотая точка, поэтому этого случая не может быть. Значит, прямая $$y=m$$ имеет одну общую точку только при $$m = 3$$. Ответ: 3