25. Боковые стороны АВ и CD трапеции АВСD равны соответственно 4 и 5, а основание ВС равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Пусть ABCD - трапеция, где BC || AD, AB = 4, CD = 5, BC = 1. Биссектриса угла ADC пересекает AB в точке K, где K - середина AB. Следовательно, AK = KB = 2.

Поскольку DK - биссектриса угла ADC, то угол ADK = углу KDC. Так как BC || AD, то угол ADK = углу BKD как накрест лежащие углы. Значит, угол KDC = углу BKD, и треугольник KCD - равнобедренный, следовательно, KC = CD = 5.

Рассмотрим треугольник ABK. В нем AK = KB = 2, следовательно, этот треугольник равнобедренный, и высота, проведенная из вершины K, будет также медианой. Но у нас нет достаточно информации, чтобы найти эту высоту.

Проведем высоту BH к основанию AD. Обозначим AH = x. Тогда HD = AD - AH = AD - x. В прямоугольном треугольнике ABH: $$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 4^2 - x^2 = 16 - x^2$$.

В прямоугольном треугольнике CHD: $$BH^2 = CD^2 - HD^2 = 5^2 - (AD - x)^2 = 25 - (AD - x)^2$$.

Следовательно, $$16 - x^2 = 25 - (AD - x)^2$$.

$$16 - x^2 = 25 - (AD^2 - 2ADx + x^2)$$.

$$16 - x^2 = 25 - AD^2 + 2ADx - x^2$$.

$$AD^2 - 2ADx = 9$$.

Так как DK - биссектриса и K - середина AB, то AK = KB = 2. По свойству биссектрисы угла трапеции, если биссектриса угла ADC проходит через середину боковой стороны AB, то AD = BC + CD. Следовательно, AD = 1 + 5 = 6.

$$6^2 - 2 \cdot 6 \cdot x = 9$$.

$$36 - 12x = 9$$.

$$12x = 27$$.

$$x = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} = 2.25$$.

Теперь найдем BH: $$BH^2 = 16 - x^2 = 16 - (2.25)^2 = 16 - 5.0625 = 10.9375$$.

$$BH = \sqrt{10.9375} \approx 3.307$$.

Площадь трапеции ABCD равна: $$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot BH = \frac{1+6}{2} \cdot 3.307 = \frac{7}{2} \cdot 3.307 \approx 11.5745$$.

Ответ: 11.5745