24. Точка Е – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь тре- угольника АВЕ равна половине площади трапеции.

Пусть трапеция ABCD, где BC || AD. Точка E - середина CD. Доказать, что S(ABE) = 0.5 S(ABCD).

Площадь трапеции ABCD выражается как: $$S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h$$, где h - высота трапеции.

Площадь треугольника ABE можно представить как разность площади трапеции ABCD и площадей треугольников BCE и ADE: $$S_{ABE} = S_{ABCD} - S_{BCE} - S_{ADE}$$.

$$S_{BCE} = \frac{1}{2} BC \cdot h_1$$, где $$h_1$$ - высота треугольника BCE, проведенная из точки E.

$$S_{ADE} = \frac{1}{2} AD \cdot h_2$$, где $$h_2$$ - высота треугольника ADE, проведенная из точки E.

Так как E - середина CD, то $$h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$$.

$$S_{BCE} = \frac{1}{2} BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{BC \cdot h}{4}$$.

$$S_{ADE} = \frac{1}{2} AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD \cdot h}{4}$$.

Тогда $$S_{ABE} = S_{ABCD} - S_{BCE} - S_{ADE} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h - \frac{BC \cdot h}{4} - \frac{AD \cdot h}{4} = \frac{2(BC+AD)h - BC \cdot h - AD \cdot h}{4} = \frac{2BC \cdot h + 2AD \cdot h - BC \cdot h - AD \cdot h}{4} = \frac{BC \cdot h + AD \cdot h}{4} = \frac{(BC+AD)h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(BC+AD)h}{2} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Ответ: Доказано, что площадь треугольника ABE равна половине площади трапеции ABCD.