C2. Внутри треугольника ABC отмечена точка M. Через нее проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC соответственно в точках D и E, причем MD = AD, ME = EC. В каком отношении делят углы треугольника прямые MA, MB, MC?

Так как DE || AC, то \(\angle MDE = \angle MAC\) и \(\angle MEC = \angle MCA\) как соответственные углы. По условию MD = AD, следовательно, \(\triangle AMD\) - равнобедренный и \(\angle MAD = \angle DMA\). Аналогично ME = EC, следовательно, \(\triangle CME\) - равнобедренный и \(\angle MCE = \angle CME\). Пусть \(\angle MAD = \angle DMA = \alpha\) и \(\angle MCE = \angle CME = \beta\). Тогда \(\angle BAC = \angle MAD + \angle MAC = \alpha + \angle MAC\) и \(\angle BCA = \angle MCE + \angle MCA = \beta + \angle MCA\). Так как DE || AC, то \(\angle DMA = \angle MAC = \alpha\) и \(\angle CME = \angle MCA = \beta\). Тогда \(\angle BAC = \alpha + \alpha = 2\alpha\) и \(\angle BCA = \beta + \beta = 2\beta\). Это значит, что AM и CM являются биссектрисами углов A и C соответственно. Для угла B недостаточно информации, чтобы определить отношение деления.