C1. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны. Оказалось, что углы ADB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Так как точки A, D, E, C лежат на одной прямой, углы ADB и BDE смежные, как и углы BEC и BED.

По условию ∠ADB = ∠BEC. Следовательно, их смежные углы равны: ∠BDE = ∠BED. Поэтому треугольник BDE равнобедренный и BD = BE.

Из AD = CE и равенства DE самим себе следует, что AE = CD: AE = AD + DE, а CD = CE + ED.

Рассмотрим треугольники ADB и CEB. Имеем AD = CE, BD = BE и ∠ADB = ∠BEC, поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = BC.

Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.