C1. Решите уравнение \(\sqrt{\log_x 25+3}=\frac{1}{\log_5 x}\).

Основание логарифма должно удовлетворять условиям \(x>0\), \(x\ne1\); также \(\log_5 x\ne0\). Левая часть неотрицательна, поэтому правая часть тоже должна быть положительной, откуда \(x>1\).

Положим \(t=\log_5 x\), тогда \(t>0\), а \(\log_x25=\frac{2}{t}\). Уравнение принимает вид:

\[\sqrt{\frac2t+3}=\frac1t.\]

Обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат:

\[\frac2t+3=\frac1{t^2},\qquad 3t^2+2t-1=0,\qquad (3t-1)(t+1)=0.\]

Из корней \(t=\frac13\) и \(t=-1\) условию \(t>0\) удовлетворяет только \(t=\frac13\). Следовательно, \(\log_5 x=\frac13\), откуда \(x=5^{1/3}\). Проверка: подкоренное выражение равно \(9\), а обе части уравнения равны \(3\).

Ответ: \(x=\sqrt[3]{5}\).