C1. В треугольнике ABC стороны AB = 5, BC = 6, BD — биссектриса, ∠DBC = α. Найдите площадь треугольника DBC.

Так как BD — биссектриса, \(\angle ABD=\angle DBC=\alpha\), поэтому \(\angle ABC=2\alpha\).

Площадь ABC равна \(\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin2\alpha=15\sin2\alpha\).

По теореме о биссектрисе \(AD:DC=AB:BC=5:6\). Треугольники ABD и DBC имеют общую высоту к прямой AC, поэтому их площади относятся как основания AD и DC, то есть как 5:6. Значит, \(S_{DBC}=\frac6{11}S_{ABC}=\frac{90}{11}\sin2\alpha\).

Ответ: \(\frac{90}{11}\sin2\alpha\).