C1 Решите уравнение \(\sqrt{2x^2+3x+1}=x+1\)

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{2x^2+3x+1}=x+1 \) необходимо учесть два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 2x^2+3x+1 \ge 0 \).
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню: \( x+1 \ge 0 \), откуда \( x \ge -1 \).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ \left( \sqrt{2x^2+3x+1} \right)^2 = (x+1)^2 \]\[ 2x^2+3x+1 = x^2+2x+1 \]

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[ 2x^2 - x^2 + 3x - 2x + 1 - 1 = 0 \]\[ x^2 + x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x+1) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения:

\( x = 0 \) или \( x+1 = 0 \) \(→\) \( x = -1 \).

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти решения условиям:

1. Условие \( x \ge -1 \):
• Для \( x = 0 \): \( 0 \ge -1 \) — верно.
• Для \( x = -1 \): \( -1 \ge -1 \) — верно.
2. Условие \( 2x^2+3x+1 \ge 0 \):
• При \( x = 0 \): \( 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 \). \( 1 \ge 0 \) — верно.
• При \( x = -1 \): \( 2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 \). \( 0 \ge 0 \) — верно.

Оба решения подходят.

Ответ: \( x = 0, x = -1 \).