C3 Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания.

Решение:

Обозначим правильную треугольную призму как ABC A₁B₁C₁. Сторона основания \( AB = BC = AC = 8 \) см. Боковое ребро \( AA₁ = BB₁ = CC₁ = 6 \) см.

Рассмотрим сечение, проходящее через сторону нижнего основания, например, AB, и противоположную вершину верхнего основания — C₁.

Таким сечением является треугольник ABC₁.

Чтобы найти площадь треугольника ABC₁, нам нужно знать его основание и высоту.

1. Основание треугольника: Возьмем сторону AB как основание. \( AB = 8 \) см.

2. Высота треугольника: Высота, опущенная из вершины C₁ на основание AB (или его продолжение). Так как призма прямая, то боковое ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания ABC. Следовательно, CC₁ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁. Гипотенуза AC = 8 см, катет AC₁ = 6 см. Это неверно, так как CC₁ - боковое ребро.

Правильный подход: проведем высоту из C₁ на прямую AB. Пусть H — точка на прямой AB, такая что C₁H перпендикулярно AB.

Рассмотрим плоскость боковой грани ACC₁A₁ (если бы сечение проходило через A, C, B₁, то мы бы рассматривали диагональ).

Рассмотрим треугольник ABC₁. Его основанием является AB = 8 см. Высота этого треугольника, проведенная из вершины C₁, будет перпендикулярна AB. Вспомним, что в правильной призме боковые грани — прямоугольники. Рассмотрим прямоугольник ACC₁C. Проведем высоту из C₁ на AB. Это будет диагональ прямоугольника AC₁C, если бы AB была продолжением AC. Но AB — это сторона основания.

Проведем высоту из C₁ к прямой AB. Пусть эта высота пересекает AB в точке K. Так как призма прямая, CC₁ перпендикулярна основанию ABC. Значит, CC₁ перпендикулярна AB. Рассмотрим треугольник ABC. Он равносторонний. Высота из C на AB, обозначим ее CD, делит AB пополам: AD = DB = 4 см. Треугольник ADC — прямоугольный.

\( CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDC₁. Гипотенуза C₁D является высотой сечения ABC₁ к основанию AB.

\( C_1D = \sqrt{CC_1^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 16 \cdot 3} = \sqrt{36 + 48} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \) см.

Площадь сечения (треугольника ABC₁) равна:

\( S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1D = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 2\sqrt{21} \text{ см} = 8\sqrt{21} \) см².

Ответ: Площадь сечения равна \( 8\sqrt{21} \) см².