C2 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 5, y = x + 3

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя линиями, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем выражения для \( y \):

\[ -x^2 + 5 = x + 3 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ -x^2 - x + 5 - 3 = 0 \]\[ -x^2 - x + 2 = 0 \]

Умножим на -1 для удобства:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь определим, какая функция является верхней, а какая нижней на интервале \( [-2; 1] \). Для этого возьмем любую точку из этого интервала, например, \( x=0 \).

Для \( y = -x^2 + 5 \): \( y(0) = -0^2 + 5 = 5 \).

Для \( y = x + 3 \): \( y(0) = 0 + 3 = 3 \).

Так как \( 5 > 3 \), то \( y = -x^2 + 5 \) — верхняя функция, а \( y = x + 3 \) — нижняя.

Площадь фигуры находится как интеграл разности верхней и нижней функций по отрезку от \( x_1 \) до \( x_2 \):

\[ S = \int_{-2}^{1} ((-x^2 + 5) - (x + 3)) dx \]\[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \]

Найдем первообразную:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \]

Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах:

\[ S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right) \]\[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) \]\[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \]\[ S = \left( \frac{-2 - 3 + 12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \]\[ S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8 - 18}{3} \right) \]\[ S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) \]\[ S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} \]

Сократим дробь:

\[ S = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 4.5.